Η αρχή της απροσδιοριστίας του σελοφάν

Έχοντας μόλις τελειώσει και παρουσιάσει το master μου, το μυαλό μου κάνει υπεράνθρωπες προσπάθειες να επανενταχθεί στην καθημερινότητα και στον απλό τρόπο σκέψης. Ξεκίνησα να γράφω αυτό το πόστ και αρχικά μου φάνηκε πιο εύκολο να το γράψω σε LaTeX.

Προσωρινά, ότι σκέφτομαι το βλέπω υπό το πρίσμα της επιστημονικότητας. Πηγαίνω τουαλέτα και σκέφτομαι πως σίγουρα υπάρχει μία κατανομή που εκφράζει την πιθανότητα Ρ κάποιος να θελήσει να πάει στην τουαλέτα δεδομένου πως η ώρα είναι t, καθώς και μία άλλη κατανομή που θα εκφράζει τον χρόνο l που θα παραμείνει κάποιος στην τουαλέτα δεδομένης της ώρας άφιξης t.

Στο context αυτό της επιστημονικής καθημερινότητας (©) αρχίζω και συνειδητοποιώ πως τα μαθηματικά μπορούν να εφαρμοστούν παντού και πως τα πάντα στην καθημερινότητα μας διέπονται από νόμους και κανόνες.

Ας πάρουμε ένα απλό παράδειγμα, για να γίνω πιο κατανοητός: το σελοφάν. Καθημερινά χρειάζεται να κόψουμε σελοφάν για να τυλίξουμε τρόφιμα, φαγητά (λες και το «τρόφιμα» και «φαγητά» είναι διαφορετικές έννοιες βλάκα…) κτλ. Το σελοφάν βρίσκεται σε κάθε σπίτι και νοικοκυριό, και είναι αναπόσπαστο κομμάτι της καθημερινότητας μας (κάτι τέτοιες κλισέ προτάσεις έγραφα κάθε φορά στην εισαγωγή μιας έκθεσης στο Λύκειο).

Τα παραπάνω είναι γνωστά και κοινώς αποδεκτά. Όμως, κάποιο επιστημονικό μυαλό με εξαιρετική αφαιρετική ικανότητα και τρομερή κριτική σκέψη (για παράδειγμα αυτού του blogger) μπορεί να δει πως ακόμα και το σελοφάν, και συγκεκριμένα η κοπή του, διέπεται από φυσικούς κανόνες. Παρακάτω παραθέτω και και ταυτόχρονα αποδεικνύω την Αρχή της Απροσδιοριστίας του Σελοφάν, μία αρχή που θα αλλάξει τον τρόπο που σκέφτεστε τα πάντα γύρω σας.

Καταρχήν ξεκινάμε με ένα λήμμα, μία κοινά αποδεκτή θέση η οποία δεν χρειάζεται απόδειξη καθώς είναι απλή και τετριμμένη:

Λήμμα 1:
Όσο η ποσότητα του σελοφάν που κόβεις είναι πιο κοντά στην ακριβή ποσότητα που χρειάζεσαι, τόσο μεγαλύτερες είναι οι πιθανότητες να μη σου φτάσει το κομμάτι που κόβεις για να κάνεις αυτό που θες.

Στους επιστημονικούς κύκλους επίσης είναι αρκετά γνωστός ο νόμος του Μέρφι για το Σελοφάν, ο οποίος διατυπώνεται ως εξής:

Νόμος του Μέρφι για το Σελοφάν:
Όταν θέλεις να κόψεις σελοφάν ποσότητα Χ, και προσπαθήσεις να κόψεις ποσότητα ακριβώς Χ, τότε σίγουρα θα κόψεις ποσότητα Χ-κ

Από το Λήμμα 1 και τον Νόμο του Μέρφι για το Σελοφάν προκύπτει το ακόλουθο θεώρημα, γνωστό και Η Αρχή της Απροσδιοριστίας του Σελοφάν:

Θεώρημα 1 (Αρχή της Απροσδιοριστίας του Σελοφάν):
Ποτέ δε μπορείς να κόψεις όσο ακριβώς σελοφάν χρειάζεσαι.

Από το Θεώρημα 1 συνεπάγεται πως το πρόβλημα της κοπής μιας ακριβούς ποσότητας σελοφάν ανάλογης των αναγκών μας ανήκει στην κλάση των NP-Complete προβλημάτων, καθώς δεν έχει βρεθεί ένας αποδοτικός αλγόριθμος πολυωνυμικής πολυπλοκότητας μέχρι σήμερα. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούνται πάντα προσεγγιστικοί αλγόριθμοι. Ο πιο γνωστός αλγόριθμος που χρησιμοποιείται σήμερα είναι ο Αλγόριθμος του Άσχετου, τον οποίον χρησιμοποιώ και εγώ:

Αλγόριθμος του Άσχετου ( )

1. Αποφασίζεις σου χρειάζεται ποσότητα Χ
2. Προσπαθείς να κόψεις ποσότητα Χ+Χ/2

Προφανώς ο αλγόριθμος αυτός έχει μεγάλο κόστος, εφόσον δαπανά 1,5 φορές την ποσότητα που θέλουμε. Λόγω της απλότητας του όμως, και δεδομένου του χαμηλού κόστους του σελοφάν, τελικά ο αλγόριθμος αυτός χρησιμοποιείται ευρέως.

Άλλοι αποδοτικότεροι αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται από τις νοικοκυρές και πετυχαίνουν πολύ μικρότερα κόστη. Είναι όμως αρκετά πολύπλοκοι για να αναφερθούν εδώ.

Bottom line: ο γιατρός είπε πως το πολύ δύο βδομάδες θα κρατήσει η κατάσταση αυτή. Μετά θα επιστρέψω στα κανονικά μου…

Advertisements

About Γιώργος Μαργαρίτης

Υπάρχουν πολλά τα δρώμενα.
This entry was posted in Έτσι μου 'ρθε and tagged , , . Bookmark the permalink.

34 Responses to Η αρχή της απροσδιοριστίας του σελοφάν

  1. Ο/Η τσοκτσοκ λέει:

    με τις υγείες σου … είμαστε υπερήφανοι για σένα …

    αν αρχίσεις βέβαια διδακτορικό, αυτές οι μούρλιες δεν είναι τίποτα σε σχέση με αυτά που θα κάνεις μετά … 😉

    να ξέρεις, μη μας λες ότι μετά δε σε ειδοποιήσαμε!

  2. @τσοκ τσοκ,
    Ωχ!!! Είναι στα άμεσα σχέδια μου το διδακτορικό!

    Δηλαδής δεν την παλεύω ε?
    Φτουου….

  3. Ο/Η magica λέει:

    περαστικά!
    (για το αλουμινόχαρτο ισχύουν τα ίδια ή υπάρχει άλλος αλγόριθμος;)
    😛

  4. @magica,
    θάνκς για τα περαστικά!

    Απ’ όσο έχω παρατηρήσει και κατανοήσει, για το αλουμινόχαρτο δεν ισχύουν τα άνωθεν, τουλάχιστον όχι σε τέτοιο βαθμό. Θυμάμαι μάλιστα 1-2 φορές να έχω κόψει όσο ακριβώς αλουμινόχαρτο χρειάζομαι, οπότε το αντιπαράδειγμα αυτό αρκεί για να καταρριφθεί η εικασία πως «ποτέ δε μπορείς να κόψεις όσο ακριβώς αλουμινόχαρτο χρειάζεσαι».

    Μισό να πάρω τα χάπια μου και επανέρχομαι…

  5. Ο/Η kafrokoritso λέει:

    Όλοι με κουσούρια θα φύγουμε από κει μέσα! Εγώ πχ. πρόσφατα παρομοίασα φίλο μου με struct- και άλλα τέτοια κουλά…
    Πάντως το σελοφάν είναι πολύ μάπα ανακάληψη. Αλουμινόχαρτο φορ εβερ! Εκτός από τύλιγμα κάνει ΚΑΙ για ταψί ΚΑΙ για πιάτο και για ότι γουστάρεις
    ps. Όσο για την τουαλέτα, καλύτερα να υπολογίζεις ποιός είναι πιθανόν να σε ακολουθήσει εκεί 😀

  6. Ο/Η sasantsos λέει:

    ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΣΚΕΨΕΙΣ…!!!!
    Κ ΕΓΩ ΤΟ ΜΑΣΤΕΡ ΜΟΥ ΤΕΛΕΙΩΣΑ ΤΩΡΑ ΑΛΛΑ ΑΛΗΘΕΙΑ ΕΙΝΑΙ ΟΤΙ ΔΕΝ ΕΧΩ ΤΕΤΟΙΕΣ ΣΚΕΨΕΙΣ ΑΚΟΜΑ ΙΣΩΣ!!!
    χαχαχαχαχαχα
    ΝΑ ΣΑΙ ΚΑΛΑ
    ΣΕ ΧΑΙΡΕΤΩ
    S FOR SANTSOS

  7. Ο/Η kleopatrakleo λέει:

    στειλε μου το mail σου γιατι δεν μπορω να το βρω!

  8. Ο/Η Sourotiri λέει:

    Επετρεψε μου να κανω μια μικρη διορθωση, με ολο τον σεβασμο προς το επιστημονικο σου εργο. Αν συνδυασουμε το νομο του μερφυ και τον αλγοριθμο του ασχετου, εχουμε τον απολυτο νομο:

    Θελεις ποσοτητα Χ
    Προσπαθεις να κοψεις ποσοτητα Χ+Χ/2
    Κοβεις ποσοτητα Χ+Χ/2-κ , οπου κ<Χ/2.

    Οποτε δεν κοβεις μιαμιση φορα οπως λες, αλλα κατι λιγοτερο.

    Παρακαλω να γραφει στα πρακτικα.

    Μετα τιμης, Sourotiri.

  9. Ο/Η Παναγιωτακης λέει:

    Πλάκα πλάκα..συνειδιτοποίησα μετά από πολλαααα χρόνια υπερανάλυσης των ΠΑΝΤΩΝ…δηλάδή, από τα πολύπλοκα πολιτικά, μέχρι και γιατί ένας μαλλιάς να είναι μαλλιάς…

    ΠΩΣ ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΑΡΑΖΕΙΣ ΩΡΕΣ ΩΡΕΣ ΚΑΙ ΝΑ ΤΟ ΔΙΣΚΕΔΑΖΕΙΣ…

    ΣΤΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΜΑΣ ΤΩΡΑ!!

    Πάντως νομίζω πως το Σελοφάν…λόγω ελαστικότητας και αντοχής σε τάση…μπορεί να κοπεί με μεγαλύτερη ακρίβεια, αν ολοκληρώσεις το διπλό ολοκλήρωμα της επιμήκυνσης ώς προς τις 2 διαστάσεις…, για μεγαλύτερη ευκολία..χρησιμοποίησε το Θεώρημα Green…

    Σε περίπτωση που κολήσεις…προσπάθησε με την μέθοδο δοκιμής και σφάλματος…

    Αλλιώς..ΠΑΝΕ ΓΙΑ ΚΑΜΙΑ ΜΠΥΡΑ!!!!

  10. Ο/Η espοir λέει:

    Γιώργο,
    Άντε, καλός πολίτης! 🙂

    Παναγιωτάκη,
    Έχεις την αίσθηση ότι η σχολή σου έχει περισσότερα μαθηματικά απ’ ό,τι περίμενες? 🙂

  11. @kafrokoritso,
    βασικά δε περίμενα τίποτα λιγότερο από σένα…
    Επίσης, ας μη ξεχνάμε πως το αλουμινόχαρτο έχει την ιδιότητα να μπορεί να ξαναχρησιμοποιηθεί, ενώ επίσης έχει την δυνατότητα να χρησιμοποιηθεί και σαν τμήμα της ενδυμασίας σου αν θέλεις να ντυθείς διαστημάνθρωπος (αλλά δε λέω ποιος το έχει κάνει αυτό…)

    ps-answer: μιλάω για την *δική μου* τουαλέτα στο σπίτι μου, οπότε δε νομίζω να με ακολουθήσει κανείς! Με πιο απλά λόγια P(Χ=»να με ακολουθήσει κάποιος στην τουαλέτα μου») = 0.

     
    @sasantsos,
    καταρχήν μη χαίρεσαι επειδή δεν είχες παρόμοιες παρενέργειες καθώς αυτές δεν εμφανίζονται άμεσα, και εξαρτώνται από παράγοντες όπως βαθμός καψίματος κατά την συγγραφή της αναφοράς του master (πρέπει να έκανα high score στο συγκεκριμένο κάψιμο), οπότε αν δεν κάηκες αρκετά κατά τη διάρκεια του master μην περιμένεις να έχεις παρόμοιες επιστημονικές εκλάμψεις.

    Και γιατί μου ευχήθηκες «να είμαι καλά»?! Δηλαδή τώρα δεν είμαι?! 🙂

     
    @κλαψιάρα κλεοπάτρα,
    σε το έστειλα!

  12. @Sourotiri,
    έλα ρεσε! Και το είχα παρατηρήσει αφού έγραψα το ποστ, αλλά λέω σιγά μην το παρατηρήσει και κάποιος άλλος! Όντως έχεις δίκιο, και όπως καταλαβαίνεις θα πρέπει να διαγράψω στο σχόλιο σου, καθώς δεν είναι δυνατόν να υπάρχει κάποιο ψεγάδι στο άψογα τεκμηριωμένο και επιστημονικό μου ποστ.

     
    @Παναγιωτακης,
    εεεε, μαν σε έχασα κάπου! Κουμπιούτερς σπουδάζω, κάτι με λέει το «ολοκλήρωμα», αλλά για να φτάσω στο σημείο να τα θυμηθώ πρέπει να κάνω μία μεγάλη αναδρομή για να φτάσω στο πρώτο έτος (Απειροστικοί Λογισμοί κτλ), και τίθεται θέμα περίπτωσης overflow λόγω της μεγάλης αναδρομής.

    Ο μόνος Green που ξέρω είναι τραγουδιστής των Sepultura, αλλά δεν ήξερα ότι έχει και βγάλει και θεώρημα για τα ολοκληρώματα. Και δε του φαινόταν.

    Οπότε μάλλον θα πάω για μπύρα.

     
    @espοir,
    μι θανκς γιου βέρι match! αλλά μέχρι να γένομε πολίτες έχουμε ακόμα: *διδακτορικό* εν όψει. Κρατήστε μου μία θέση σε κάποιο ψυχιατρείο, δεν θα αργήσω.

  13. Ο/Η dizzydream λέει:

    Τρέλανέ μας!!!!!! 🙂

  14. Ο/Η Παναγιωτακης λέει:

    @espoir

    ΝΑΙ…καλά που το ξέρεις????

  15. Ο/Η harisheiz λέει:

    Χαχα… Τώρα που τα δόμησες όλα καλά καλά… Διάβασε λίγο Deleuze, Derrida ή οτιδήποτε από μεταδομιστές και θα βγεις τελείως off…

  16. Ο/Η harisheiz λέει:

    Μη μασάς πάντως… εγώ μιλάω στον καθρέφτη μου και δεν το έχω χάσει ακόμα τελείως… Το πρόβλημα θα είναι όταν θα αρχίσει να μου απαντάει… τότε θα το έχω χάσει τελείως!

  17. Ο/Η espοir λέει:

    Παναγιωτάκη,
    i read between the linez. 🙂

  18. Ο/Η τσοκτσοκ λέει:

    Κοίτα Γιώργο, αν με το μάστερ έκαμες τόσες κουτουράδες, δικιέ μου με το διδακτορικό καλό βόλι.

    Δεν θέλω να σε επηρεάσω αρνητικά, αλλά αν στο τέλος αρχίσεις να καπνίζεις μοσχοκάρυδο και να υπολογίζεις τα φύλλα του κωλόχαρτου με ολοκλήρωση κατα τη διάρκεια της πρωϊνής σου ανάγκης, τότε … 😉

  19. Ο/Η island λέει:

    Στην δουλειά μου φίλε Γιώργο ισχύει ένα θεώρημα:»Αν δεν περισσέψει τότε δεν φτάνει».

    Ένα άλλο θεώρημα που ισχύει στην περίπτωσή σου είναι ότι τον έχεις κάψει τον εγκέφαλο φίλε.Πρέπει να περάσεις το λογισμικό από την αρχή για να μην σου βαρέσει κανένα μάδερμπορντ.

    Αν θες βοήθεια ειδοποία(από το ειδοποιώ βεβαίω βεβαίως)…

  20. @dizzydream,
    ζηλεύεις, ζηλεύεις?!

     
    @Παναγιωτάκης,
    μάλλον το μάντεψε από το ζώδιο σου, ή το είπε τυχαία, πάντως σε καμία περίπτωση δε νομίζω να έβγαλε το συμπέρασμα από το σχόλιο σου.

     
    @harisheiz,
    όχι δηλαδής για να μη νομίζεις πως μόνο εσύ μπορείς να γράφεις μακροσκελή και επιστημονικά ποστς.

    Αυτοί που μου προτείνεις σε τι γλώσσα προγραμματισμού γράφουν? Είναι πολέμιοι του δομημένου προγραμματισμού?

    Εμένα μου μιλάει ο καθρέφτης μου, αλλά δε του απαντάω. Κρατάω χαρακτήρα. Οπότε είμαι μια χαρά εφόσον δε μιλάω στον καθρέφτη μου.

     
    @espοir,
    but… between the linez there’s empty space… ❓

     
    @τσοκτσοκ,
    με εμψυχώνεις πάρα πολύ, αισθάνομαι πλέον έτοιμος για το διδακτορικό. Προς το παρόν δεν καπνίζω καν, και με τα ολοκληρώματα δεν τα πάω και πολύ καλά, οπότε μάλλον κάπως αλλιώς θα εκδηλωθούν τα συμπτώματα (θα μπορούσα άνετα να περιγράφω τον κόσμο γύρω μου με προγράμματα, π.χ.

    void master(void)
    {
       while (TRUE) {
          sleep(4*3600);
          go_to_bathroom();

          while (eyes_still_open==TRUE)

             /* TODO: signal handler for bathroom need */
             write_code();
             run_program();
             debug();
          }
       }
       /* TODO: I definitely need a break in while */
    }

    Αλλά δε φοβάμαι καθόλου (έχω θεία ψυχίατρο).

  21. @island,
    τότε στην δουλειά σου υπάρχου πολύ σοφοί άνθρωποι.

    Όσο για την περίπτωση μου, το σκέφτομαι ένα ολικό εγκεφαλικό φορμάτ, μπας και τη γλιτώσει κανένα δεδομένο (ελπίζω).

    Και συν τοις άλλοις, βλέπω ότι έχεις και γραμματικές/συντακτικές γνώσεις, βεβαίως βεβαίως. Μα επιτέλους, τι δουλειά κάνεις?!

  22. Ο/Η kleopatrakleo λέει:

    ΤΗΑΝΚΣ!!!!:-))

  23. Ο/Η island λέει:

    Πυρινικός ηλεκτρολόγος (εκ της πυράς)…βάζω φωτιά σε σπίτια δηλαδής!!!

  24. Ο/Η espοir λέει:

    Γιώργο, τελικά είσαι μικρός ακόμα. 😉
    Άμα φτάσεις στην ηλικία μου με το καλό -και δε σε έχουν μπουζουριάσει από αυτά που δημοσιεύεις- θα μάθεις ότι όσα λέμε είναι αποτέλεσμα όσων θέλουμε να πούμε αλλά κάνουμε την προσωπική μας λογοκρισία κάθε φορά. 🙂

    Και όσα επιλέγουμε να λογοκρίνουμε, είναι συνήθως τα πιο «ζουμερά». 😉
    Με την καλή έννοια! (c) 10 Μικροί Μήτσοι

  25. @kleopatrakleo,
    antithanks!

     
    @island,
    ενδιαφέρον ακούγετε… Να σου πω, μήπως πέρσι το καλοκαίρι έκανες πρακτική κάπου στην Πελοπόννησο?

     
    @espoir,
    είμαι τόσο μικρός ε?! 😀
    Εγώ μάλλον με κόβω να έχω βγάλει το φίλτρο λογοκρισίας όταν ήμουν μικρός, αλλιώς θα έγραφα καλύτερα.

  26. Παράθεμα: Disclaimer - Εγκεφαλική απεργία « Γιώργος Μαργαρίτης

  27. Ο/Η C++ Rulez λέει:

    Γιώργο με όλο το respect να επισημάνω και την αρχή της απροσδιοριστίας της κλανιάς…

    Αξίωμα 1: Η τσούφια πάντα μυρίζει.
    Αξίωμα 2: Αυτή που δεν μυρίζει πάντα ακούγεται.
    Θεώρημα 1: Μεταξύ δύο. ο κλανιάρης γίνεται αντιληπτός. Επομένως η κλανιά είναι BOOLEAN.
    Κλανική αντιληπτότητα = (Μυρίζει OR Ακούστηκε) AND (είμαστε δύο νοματαίοι).
    Παράδοξο 1: Είμαστε δύο, κλάνω σιγανά, μυρίζει και σε ρωτάω «Καλά έκλασες ρε μαλάκα?!?»
    Μαλακία 1: Το ξέρεις ότι θα εκτεθείς από πρίν οπότε παίρνεις τον δρόμο χαμηλότερου κόστους(Game theory). Λές λοιπόν… «ΣΣΣσσσττ…. Άκου… ερχεται…ΜΠΡΑΑΑΤΣ ΧΧΑχαΧιΧιΧαχαΧΑ» (συνήθως μετά ακολουθεί διαγωνισμός ρεψίματος)
    Απροσδιοριστία 1: Το πρωί στο λεοφορείο άμα κάποιος κλάσει δεν μπορείς να προσδιορίσεις ποιός ήταν αυτός.Το ίδιο ισχύει και σε συναυλίες, κατά το περπάτημα και στο ασανσέρ (αν επιβιώσει κάποιος).

    Αύτά…
    Όσο αφορά τη μεμβράνη φίλε έχω άλλη μια θεωρία…

    α. Η γαμημένη μεμβράνη ποτέ δεν κόβεται στην ακρούλα από το κουτί (μπορεί να είναι και συνομωσία των μεμβρανοπαραγωγών)και
    β. πάντα είναι ελάχιστα πιο στενή κατά λίγα χιλιοστά από το ελάχιστης διαμέτρου πιάτο στο οποίο πρόκειται να βάλεις τα τρόφιμα.

    Αυτάαα

  28. @C++ Rulez,
    χαχα + lol + rofl + 🙂
    άκρως επιστημονικά τεκμηριωμένη αρχής της απροσδιοριστίας της κλανιάς, εύγε νέε μου! (μήπως να ανοίξουμε κανένα wiki!?)

    πάντα είναι ελάχιστα πιο στενή κατά λίγα χιλιοστά από το ελάχιστης διαμέτρου πιάτο στο οποίο πρόκειται να βάλεις τα τρόφιμα.

    Ακριβώς!

  29. Ο/Η Arkin λέει:

    Και πού να έφτιαχνες και παζλ… (Ό,τι βλέπεις γύρω σου «χωρίζεται» σε κομματάκια)

    Α, παραλίγο να το ξεχάσω, συγχαρητήρια για το μάστερ!

  30. Arkin έχω περάσει και από αυτή την φάση… 🙂

    όπως και από την φάση μετά από ώρες UNREAL να βλέπω άτομα μπροστά μου και να θέλω να κάνω headshot ή μετά από ώρες rpg να κοιτάω στο δρόμο μπας και βρω κανένα σεντούκι ή κανένα πεταμένο σπαθί.

    Θενκς για τα συγχαρήκια!

  31. Ο/Η Arkin λέει:

    Ωχ τι μου θύμισες τώρα… Να τρέχω να προλάβω το λεωφορείο και να σκέφτομαι πού έβαλα το d20…

  32. χαχαχχαααχα! Lol! Συμπάσχω…

  33. Ο/Η s54elas λέει:

    Ενδιαφεροντα.

Σχόλια με κεφαλαία ή greeklish απαγορεύονται αυστηρώς και διώκονται ποινικά. Οι συγγραφείς τους θα υποστούν αποτρόπαια βασανιστήρια. (μετάφραση στα Χρυσαυγίτικα: Μι γράφης με κεφαλέα κε greeklish).

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s